Calculadora de MCD y MCM
Escribe dos o más números enteros y obtén su máximo común divisor (MCD) y su mínimo común múltiplo (MCM), resueltos por descomposición en factores primos y por el algoritmo de Euclides.
Cómo usar la calculadora
Introduce los números separados por comas, espacios o punto y coma. Se admiten enteros positivos de hasta 12 cifras (los negativos se toman en valor absoluto, porque los divisores y múltiplos se definen igual). Verás el MCD y el MCM, la factorización de cada número, cómo se eligen los factores y las divisiones del algoritmo de Euclides.
Qué son el MCD y el MCM
El máximo común divisor de varios números es el mayor entero que los divide a todos sin dejar resto. El mínimo común múltiplo es el menor entero positivo que es múltiplo de todos ellos. En inglés se llaman GCD (o HCF) y LCM. Si el MCD de dos números es 1, se dice que son primos entre sí o coprimos, aunque ninguno de ellos sea primo (como 8 y 15).
Métodos de cálculo
1. Descomposición en factores primos
Descompón cada número (puedes hacerlo con la herramienta de descomposición en factores primos):
12 = 2² · 3 18 = 2 · 3² 30 = 2 · 3 · 5
- MCD: factores comunes a todos, con el menor exponente → 2 · 3 = 6.
- MCM: todos los factores que aparecen, con el mayor exponente → 2² · 3² · 5 = 180.
2. Algoritmo de Euclides
Se basa en que mcd(a, b) = mcd(b, a mod b). Divides el mayor entre el menor, te quedas con el divisor y el resto, y repites hasta obtener resto 0:
18 = 1 × 12 + 6 → 12 = 2 × 6 + 0 → mcd(12, 18) = 6
Para más de dos números se aplica en cadena: mcd(12, 18, 30) = mcd(mcd(12, 18), 30) = mcd(6, 30) = 6. Euclides no necesita factorizar, por eso es el método que usan los ordenadores incluso con números enormes.
3. MCM a partir del MCD
mcm(a, b) = a × b ÷ mcd(a, b)
mcm(12, 18) = 216 ÷ 6 = 36, y en cadena mcm(36, 30) = 1080 ÷ 6 = 180.
Problemas resueltos
Repartir sin que sobre nada (MCD)
Tienes dos listones de 120 cm y 84 cm y quieres cortarlos en trozos iguales lo más largos posible sin desperdiciar madera. mcd(120, 84) = 12 cm: obtienes 10 + 7 = 17 trozos.
Sucesos que coinciden (MCM)
Un autobús pasa cada 12 minutos y otro cada 18. Si acaban de coincidir, volverán a hacerlo dentro de mcm(12, 18) = 36 minutos.
Sumar fracciones (MCM)
Para sumar 5/12 + 7/18 el denominador común más pequeño es mcm(12, 18) = 36: 15/36 + 14/36 = 29/36. La calculadora de fracciones hace este paso automáticamente, y para reducir fracciones se divide entre el MCD, como en simplificar fracciones.
Tabla de ejemplos
| Números | MCD | MCM |
|---|---|---|
| 8 y 12 | 4 | 24 |
| 9 y 15 | 3 | 45 |
| 8 y 15 | 1 | 120 |
| 24 y 36 | 12 | 72 |
| 4, 6 y 10 | 2 | 60 |
| 1 a 10 | 1 | 2520 |
Propiedades útiles
- El MCD nunca es mayor que el menor de los números, y el MCM nunca es menor que el mayor.
- Si un número divide a otro, el MCD es el menor y el MCM el mayor: mcd(6, 24) = 6 y mcm(6, 24) = 24.
- Para dos números, mcd × mcm = a × b. Con tres o más no se cumple: 6 × 180 ≠ 12 × 18 × 30.
- Dos números primos distintos siempre tienen MCD 1 y su MCM es su producto.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el MCD?
El máximo común divisor es el mayor número que divide exactamente a todos los números dados. El MCD de 12, 18 y 30 es 6.
¿Qué es el MCM?
El mínimo común múltiplo es el menor número positivo que es múltiplo de todos los dados. El MCM de 12, 18 y 30 es 180.
¿Cómo se calculan con la descomposición en factores primos?
Para el MCD se toman los factores comunes con el menor exponente; para el MCM, los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
¿Qué relación hay entre el MCD y el MCM?
Para dos números positivos, MCD × MCM = a × b. Con 12 y 18: 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Esta igualdad no se cumple con tres o más números.
¿Para qué sirven en la vida real?
El MCD sirve para repartir en partes iguales lo más grandes posible (cortar tablas, formar grupos); el MCM, para saber cuándo coinciden sucesos periódicos (autobuses, turnos, engranajes) y para sumar fracciones.