Calculadora de logaritmos
Calcula el logaritmo de un número en base 10, en base e (logaritmo neperiano), en base 2 o en la base que necesites, con el cambio de base desarrollado. También calcula el antilogaritmo.
Cómo usar la calculadora
Escribe el número del que quieres el logaritmo y elige la base. Con «Otra base…» puedes usar cualquier número positivo distinto de 1, incluidos decimales como 1,05. El resultado muestra el valor con 12 decimales, el cálculo por cambio de base y la comprobación elevando la base al resultado. En el modo Antilogaritmo introduces el exponente y obtienes la potencia correspondiente.
Qué es un logaritmo
log_b(x) = y ⇔ bʸ = x (b > 0, b ≠ 1, x > 0)
El logaritmo responde a la pregunta «¿a qué exponente tengo que elevar la base para obtener este número?». log₁₀ 1.000 = 3 porque 10³ = 1.000, y log₂ 32 = 5 porque 2⁵ = 32. Es la operación inversa de la potencia, que puedes calcular con la calculadora de potencias.
Las tres bases más usadas
- Base 10 (log): el logaritmo decimal. Indica el orden de magnitud: un número de n cifras enteras tiene un logaritmo entre n − 1 y n. Se usa en escalas como el pH o los decibelios y está detrás de la notación científica.
- Base e (ln): el logaritmo natural o neperiano, con e ≈ 2,718281828. Aparece en crecimiento continuo, desintegración radiactiva, estadística y finanzas.
- Base 2 (log₂ o lb): el logaritmo binario, propio de la informática: cuántos bits hacen falta para representar N valores o cuántas veces se puede dividir algo por la mitad.
Propiedades de los logaritmos
| Propiedad | Ejemplo en base 10 |
|---|---|
| log(a · b) = log a + log b | log 200 = log 2 + log 100 ≈ 0,301 + 2 |
| log(a / b) = log a − log b | log 0,5 = log 1 − log 2 ≈ −0,301 |
| log(aⁿ) = n · log a | log 8 = 3 · log 2 ≈ 0,903 |
| log_b(b) = 1, log_b(1) = 0 | log 10 = 1, log 1 = 0 |
| log_b(x) = log(x) / log(b) | log₂ 10 = 1 / 0,30103 ≈ 3,3219 |
No hay regla para sumas: log(a + b) no es log a + log b. Por ejemplo, log(10 + 10) = log 20 ≈ 1,301, no 2.
Ejemplos de aplicación
¿Cuánto tarda en duplicarse una inversión?
Al 6 % anual compuesto, el capital se multiplica por 1,06 cada año. Para duplicarlo necesitas n tal que 1,06ⁿ = 2: n = log 2 ÷ log 1,06 = 0,30103 ÷ 0,025306 ≈ 11,9 años. La regla del 72 da una aproximación rápida: 72 ÷ 6 = 12 años.
Bits necesarios
Para numerar 1.000 elementos distintos hacen falta log₂ 1.000 ≈ 9,97 → 10 bits (2¹⁰ = 1.024).
Escala de pH
pH = −log[H⁺]. Una disolución con [H⁺] = 0,0001 mol/L tiene pH = −log 10⁻⁴ = 4. Cada unidad de pH supone multiplicar o dividir la concentración por 10.
Valores de referencia
| x | log₁₀ x | ln x | log₂ x |
|---|---|---|---|
| 2 | 0,30103 | 0,69315 | 1 |
| 3 | 0,47712 | 1,09861 | 1,58496 |
| e | 0,43429 | 1 | 1,44270 |
| 5 | 0,69897 | 1,60944 | 2,32193 |
| 10 | 1 | 2,30259 | 3,32193 |
| 100 | 2 | 4,60517 | 6,64386 |
Para combinar logaritmos con otras funciones (seno, raíces, potencias) en una sola expresión, usa la calculadora científica.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un logaritmo?
El exponente al que hay que elevar la base para obtener un número: log_b(x) = y significa que bʸ = x. Por ejemplo, log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8.
¿Qué diferencia hay entre log y ln?
En calculadoras y en la mayoría de textos escolares, log es el logaritmo en base 10 y ln el logaritmo natural o neperiano, en base e ≈ 2,71828. En programación y en matemáticas avanzadas, log suele significar ln.
¿Cómo calculo un logaritmo en otra base?
Con la fórmula del cambio de base: log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b) = log(x) ÷ log(b). Por ejemplo, log₃ 81 = ln 81 ÷ ln 3 = 4,3945 ÷ 1,0986 = 4.
¿Existe el logaritmo de un número negativo o de 0?
No en los números reales. Una base positiva elevada a cualquier exponente siempre da un resultado positivo, así que el argumento tiene que ser mayor que 0.
¿Qué es el antilogaritmo?
La operación inversa: dado y = log_b(x), recuperar x = bʸ. El antilogaritmo decimal de 2 es 10² = 100.