Calculadora de matrices

Cómo usar la calculadora de matrices

1. Elige la operación en la barra superior. Para determinante, inversa, transpuesta, potencia y producto por escalar solo se usa la matriz A.
2. Ajusta las filas y columnas de cada matriz (de 1 a 5). Al cambiar el tamaño se conservan los valores ya escritos.
3. Escribe los elementos: enteros (-3), decimales con coma o punto (2,5) o fracciones (3/4). Las casillas vacías cuentan como 0.

Internamente todos los cálculos se hacen con fracciones exactas de precisión arbitraria, de modo que la inversa de una matriz de enteros sale como fracciones limpias (5/12, −1/6…) y no como 0,41666667. Si una fracción tiene un denominador enorme, se muestra en decimal. El botón «Copiar resultado» copia la matriz separada por tabuladores, lista para pegar en una hoja de cálculo. Todo se procesa en tu navegador.

Cómo se calcula cada operación

Suma y resta

Solo entre matrices del mismo tamaño, elemento a elemento: (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ.

Producto

A (m×n) × B (n×p) da una matriz m×p. Cada elemento es la fila de A por la columna de B:

cᵢⱼ = aᵢ₁·b₁ⱼ + aᵢ₂·b₂ⱼ + … + aᵢₙ·bₙⱼ

El número de columnas de A debe coincidir con el de filas de B. El producto no es conmutativo: en general A × B ≠ B × A, y puede que uno exista y el otro no. Usa «Intercambiar A y B» para comprobarlo.

Determinante

2×2: det = a·d − b·c

Para 3×3 se usa la regla de Sarrus o el desarrollo por cofactores; para tamaños mayores, la calculadora aplica eliminación gaussiana: convierte la matriz en triangular y multiplica los elementos de la diagonal, cambiando el signo con cada intercambio de filas.

Inversa

Solo existe si la matriz es cuadrada y su determinante no es 0. Para 2×2:

A⁻¹ = 1/(ad − bc) · [ d −b ; −c a ]

Para tamaños mayores se usa el método de Gauss-Jordan: se escribe [A | I] y se hacen operaciones de fila hasta obtener [I | A⁻¹].

Ejemplos resueltos

1. Producto de las matrices de ejemplo

Con A = [2 −1 0; 1 3 2; 0 1 4] y B = [1 0 2; 0 1 1; 3 2 0], el primer elemento es 2·1 + (−1)·0 + 0·3 = 2, y el resultado completo es [2 −1 3; 7 7 5; 12 9 1].

2. Determinante e inversa de A

Por Sarrus, det(A) = (24 + 0 + 0) − (0 + 4 − 4) = 24. Como no es 0, A tiene inversa, cuya primera fila es 5/12, 1/6, −1/12. Comprobación: 2·5/12 + (−1)·(−1/6) + 0 = 10/12 + 2/12 = 1.

3. Inversa de una 2×2

Para [4 7; 2 6], det = 24 − 14 = 10 y A⁻¹ = 1/10 · [6 −7; −2 4] = [3/5 −7/10; −1/5 2/5].

Aplicaciones

• Sistemas de ecuaciones: un sistema A·x = b tiene solución única si det(A) ≠ 0, y entonces x = A⁻¹·b. Para resolverlo directamente con paso a paso, usa la calculadora de sistemas de ecuaciones.
• Transformaciones geométricas: rotar, escalar o reflejar puntos en gráficos por ordenador. El valor absoluto del determinante indica cuánto se escala el área (o el volumen).
• Cadenas de Márkov: la potencia Aⁿ de una matriz de transición da las probabilidades de pasar de un estado a otro en n pasos.
• Economía: el modelo input-output de Leontief usa la inversa de (I − A).

Errores frecuentes

• Multiplicar elemento a elemento: eso no es el producto matricial.
• Dimensiones incompatibles: una 2×3 por una 2×3 no se puede multiplicar; una 2×3 por una 3×2, sí (da 2×2).
• Redondear antes de tiempo: con decimales, una matriz casi singular puede parecer invertible. Las fracciones exactas evitan ese problema.

Si necesitas operar con fracciones sueltas, tienes la calculadora de fracciones, y para simplificar resultados, simplificar fracciones.