Calculadora de utilidad esperada y valor esperado
Describe una lotería o decisión con riesgo (cada escenario con su probabilidad y su pago), elige una función de utilidad y obtén el valor esperado, la utilidad esperada, el equivalente cierto y la prima de riesgo. También puedes compararla con una cantidad segura.
| Escenario | Probabilidad (%) | Pago (ganancia o pérdida) |
|---|---|---|
| 1 | ||
| 2 |
Cómo usar la calculadora
- Escribe cada resultado posible en una fila: su probabilidad en porcentaje y su pago. Las pérdidas se escriben en negativo. Las probabilidades deben sumar 100 %.
- Indica la riqueza inicial: la utilidad se aplica a la riqueza final (riqueza inicial + pago). Con utilidad logarítmica la riqueza final debe ser positiva en todos los escenarios; con raíz cuadrada, no negativa.
- Elige la actitud ante el riesgo: lineal (neutral), raíz cuadrada (aversión moderada) o logarítmica (aversión mayor para riquezas bajas).
- Si escribes una alternativa segura, la calculadora te dice qué opción tiene más utilidad esperada.
Los cálculos se hacen en tu navegador. Es una herramienta educativa: no sustituye un análisis financiero profesional.
Fórmulas
Valor esperado: VE = Σ pᵢ · xᵢ
Utilidad esperada: UE = Σ pᵢ · u(W₀ + xᵢ)
Equivalente cierto: EC = u⁻¹(UE) − W₀
Prima de riesgo: PR = VE − EC
W₀ es la riqueza inicial, xᵢ el pago del escenario i y pᵢ su probabilidad en tanto por uno. La inversa de la utilidad es w = UE² para la raíz y w = eUE para el logaritmo.
Ejemplos resueltos
1. Lotería 50/50 con utilidad raíz cuadrada
Es el caso que aparece al cargar: 50 % de ganar 10.000 y 50 % de no ganar nada, sin riqueza inicial.
- VE = 0,5 · 10.000 + 0,5 · 0 = 5.000.
- UE = 0,5 · √10.000 + 0,5 · √0 = 0,5 · 100 = 50.
- EC = 50² = 2.500: esta persona valora la lotería igual que 2.500 seguros.
- Prima de riesgo = 5.000 − 2.500 = 2.500.
Frente a una alternativa segura de 3.000, prefiere los 3.000 (√3.000 ≈ 54,77 > 50), aunque el valor esperado de la lotería sea mayor.
2. La misma lotería con utilidad logarítmica y riqueza 10.000
La riqueza final es 20.000 o 10.000. UE = 0,5 · ln 20.000 + 0,5 · ln 10.000, y el equivalente cierto en riqueza es √(20.000 · 10.000) ≈ 14.142,14 (con utilidad logarítmica y dos escenarios equiprobables, es la media geométrica). Restando la riqueza inicial, EC ≈ 4.142,14 y la prima de riesgo ≈ 857,86. Con más riqueza de partida, el mismo riesgo pesa menos.
3. ¿Cuánto pagarías por un seguro?
Tienes una riqueza de 100.000 y hay un 1 % de probabilidad de sufrir un daño de 80.000. Introduce W₀ = 100.000 y los escenarios 99 % → 0 y 1 % → −80.000. La pérdida esperada es 800. Con utilidad logarítmica, el equivalente cierto es ≈ −1.596,56: estarías dispuesto a pagar hasta unos 1.596 por un seguro que cubra todo el daño, el doble de la pérdida esperada. Esa diferencia (la prima de riesgo, ≈ 796,56) es lo que hace posible el negocio asegurador.
Actitud ante el riesgo y forma de la utilidad
| Actitud | Función de utilidad | Equivalente cierto | Prima de riesgo |
|---|---|---|---|
| Aversión al riesgo | Cóncava (√w, ln w) | Menor que el VE | Positiva |
| Neutralidad | Lineal (w) | Igual al VE | Cero |
| Propensión al riesgo | Convexa (w²) | Mayor que el VE | Negativa |
La aversión al riesgo es la versión con incertidumbre de la utilidad marginal decreciente: si cada euro adicional vale menos que el anterior, perder 1.000 duele más de lo que alegra ganar 1.000, y una apuesta justa reduce la utilidad esperada.
Origen de la teoría
Daniel Bernoulli propuso en 1738 que las personas valoran la riqueza con una utilidad logarítmica, para explicar la paradoja de San Petersburgo: un juego con valor esperado infinito por el que nadie pagaría mucho. John von Neumann y Oskar Morgenstern demostraron en 1944 que, si las preferencias sobre loterías cumplen ciertos axiomas (completitud, transitividad, continuidad e independencia), se pueden representar con una función de utilidad esperada. Su historia y sus críticas, como la teoría prospectiva de Kahneman y Tversky, están en teoría de la utilidad.
Límites del modelo
- Las probabilidades deben ser conocidas o estimables. Para calcularlas con eventos combinados, usa la calculadora de probabilidad.
- Las funciones de esta herramienta son ejemplos típicos. La aversión real al riesgo varía según la persona y la situación.
- En la práctica, las personas se desvían: sobrevaloran probabilidades pequeñas (por eso se juega a la lotería y se contratan seguros a la vez) y sienten las pérdidas con más fuerza que las ganancias.
- La utilidad esperada es cardinal en sentido limitado: solo admite transformaciones lineales positivas, a diferencia de la utilidad del consumidor (ver utilidad ordinal y cardinal).
Preguntas frecuentes
¿Qué es la utilidad esperada?
Es la media de las utilidades de los posibles resultados de una decisión, ponderadas por sus probabilidades: UE = Σ pᵢ·u(xᵢ). Según la teoría de von Neumann y Morgenstern, una persona racional elige la opción con mayor utilidad esperada.
¿Qué diferencia hay entre valor esperado y utilidad esperada?
El valor esperado promedia los pagos en dinero; la utilidad esperada promedia la satisfacción que dan esos pagos. Solo coinciden para una persona neutral al riesgo (utilidad lineal).
¿Qué es el equivalente cierto?
Es la cantidad segura que da la misma utilidad que la lotería. Si una lotería con valor esperado 5.000 tiene un equivalente cierto de 2.500, esa persona aceptaría 2.500 seguros a cambio de renunciar a jugar.
¿Qué es la prima de riesgo?
La diferencia entre el valor esperado y el equivalente cierto. Mide cuánto está dispuesta a sacrificar una persona para eliminar el riesgo; es positiva si es aversa al riesgo, cero si es neutral y negativa si es amante del riesgo.